Сайт преподавателя Силаевой Н.Ю. ... ...

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1. На основании исходных данных о времени обработки деталей рабочими двух бригад определить:
- показатели центральной тенденции: среднюю величину и медиану;
- показатели вариации
Таблица 1 – Исходные данные

Бригады Время обработки деталей
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I бригада 74 86 112 116 132 134 155 183 - -
II бригада 108 113 114 121 122 126 130 132 135 139

РЕШЕНИЕ
1. Определяем среднюю величину времени обработки деталей в обеих бригадах по формуле средней арифметической простой
Хариф.пр. = ∑Хi /n
I бригада - ХI = (74+86+112+116+132+134+155+183) / 8 = 124 мин.
II бригада - ХII = (108+113+114+121+122+126+130+132+135+139) / 10 = 124 мин.
Среднее время обработки деталей в обеих бригадах одинакова.
2. Определяем медианные значения (центр распределения совокупности) в обеих бригадах по формуле
XME = Σfi / 2
При четном числе единиц в ряду выбираем два центральных значения – для первой (I) бригады – 116 и 132, для второй (II) бригады – 122 и 126
I бригада – ХмеI = (116+132)/2 = 124 мин.
II бригада - ХмеII = (122+126)/2 = 124 мин.
Медианные значения (то есть средние значения) одинаковы в обеих бригадах.
Модальные значения не могут быть определены, та как значения признаков не повторяются.
Вывод: Обе совокупности (I и II бригады) характеризуются одинаковыми показателями центра распределения.
3. Для характеристики рассеивания определяем показатель вариации (изменения):
3.1. Размах вариации по формуле
R = Xmax – Xmin
I бригада – RI = 183-74 = 109 мин.
II бригада RII = 139-108 = 31 мин.
3.2. Определяем среднее линейное отклонение (простое для не сгруппированных данных) по формуле
a = (ǀΣXi - Х ǀ) / n
- первая (I) бригада ( Х=124 мин, n=8)
аI = [ǀ74-124ǀ+ǀ86-124ǀ+ǀ112-124ǀ+ǀ116-124ǀ+ǀ132-124ǀ+ǀ134-124ǀ+ǀ155-124ǀ+ǀ183-124ǀ]/ 8 =
= (50+38+12+8+8+10+31+59)/8 = 216/8 = 27 мин.
- вторая (II) бригада ( Х=124 мин, n=10)
аII = [ǀ108-124ǀ+ǀ118-124ǀ+ǀ114-124ǀ+ǀ121-124ǀ+ǀ122-124ǀ+ǀ126-124ǀ+ǀ130-124ǀ+ǀ132-124ǀ+
+ǀ135-124ǀ+ǀ139-124ǀ]/10 = (16+11+10+3+2+2+6+8+11+15)/10 = 84/10 = 8,4 мин.
4. Определяем среднее квадратическое отклонение, которое характеризует разброс вариантов средней величины (т.е. колеблемость вариационного ряда). Чем больше сигма (σ), тем степень разнообразия ряда выше.
σ = √ [∑(Xi – Х)2] / n
- первая (I) бригада ( Х=124; n=8):
σI= √ (502+382+122+82+82+102+312+592)/8 = √ (2500+1444+144+64+64+100+961+3481)/8 = √1094,75=
= 33,09 мин.
- вторая (II) бригада ( Х=124; n=10):
σII= √ (162+112+102+32+22+22+62+82+112+152)/10 = √(256+121+100+9+4+4+36+64+121+225) /10 =
= √ 94 = 9,7 мин.
Сопоставление среднего линейного отклонения и среднего квадратического отклонения говорит о том, что вариация (вариант) времени обработки деталей в первой (I) бригаде значительно выше, чем во второй (II) бригаде.

ЗАДАЧА 2. На основании исходных данных распределения рабочих предприятия по возрасту определить:
- показатели центральной тенденции: среднюю величину и медиану;
- показатели вариации.

Таблица 1 – Исходные данные

Группы рабочих по возрасту, годы Количество робочих, чел.
(f1)		 Накопленные частоты
(S)		 Расчет накопленных частот
1 2 3 4
18-20 1 1 1
20-22 3 4 3+1=4
22-24 6 10 6+3+1=10
24-26 10 20 10+6+3+1=20
26-28 5 25 5+10++6+3+1=25
28-30 3 28 3+5+10+6+3+1=28
30-32 2 30 2+3+5+10+6+3+1=30
32-34 2 32 2+2+3+5+10+6+3+1=32
Итого 32 - -

РЕШЕНИЕ
1. Определяем средний возраст работников по формуле взвешенной средней арифметической
Харифм.взв. = ∑Хi /∑fi
Хi - см. табл.2 (графа 2)
fi - см. табл.2 (графа 3)
Х = [(19∙1)+(21∙3)+(23∙6)+(25∙10)+27∙5)+(29∙3)+(31∙2)+(32∙2)]/32 = 820/32 = 25,6 лет

2. Составляем вспомогательную таблицу для расчета показателей (чтобы не делать громоздких расчетов).
Таблица 2 – Вспомогательная таблица

Группы работников по возрасту,
годы		 Середина интервала
(Xi)		 Количество рабочих, чел.
(fi) 		Накопленные частоты
(S)		 Произведение величины признаков на их частоты
Xi∙fi		 Отклонение от средней
(Xi- Х)		 Квадрат отклонения
(Xi- Х)2 		Квадрат отклонения умноженный на частоты (веса)
(Xi- Х )2∙fi
1 2 3 4 5 6 7 8
Пример расчета (18+20)/2 19∙1=19
21∙3=63		 19-25,6 (19-25,6)2
(21-25,6)2 		(19-25,6)2∙1
(21-25,6)2∙3
18-20 19 1 1 19 -6,6 43,56 43,56
20-22 21 3 4 63 -4,6 21,16 63,48
22-24 23 6 10 136 -2,6 6,76 40,56
24-26 25 10 20 250 -0,6 0,36 3,6
26-28 27 5 25 135 1,4 1,96 9,8
28-30 29 3 28 87 3,4 11,56 34,68
30-32 31 2 30 62 5,4 29,16 58,32
32-34 33 2 32 66 7,4 54,76 109,52
Итого 32 363,52

3. Определяем моду в интервальном ряду (модальный интервал).
Модальный интервал 24-26 лет, так как в этом интервале наибольшее число рабочих
Mo = Xмo+d ∙ {(f2-f1) / [(f2-f1)+(f2-f3)]}
Мо = 24+2∙{(10-6) / [(10-6)+(10-5)]} = 24,9 лет.
Xмo – нижняя граница модального интервала
d – величина интервала (24,25,26 = 2; 24+2=26)
f1 – количество работников в предмодальном интервале = 6;
f2 – количество работников в модальном интервале = 10;
f3 – количество работников постмодального интервала = 5.

4. Определяем медиану в интервальном ряду (медианный интервал).
Медианный интервал 24-26 лет, так как середина вариационного ранжированного ряда (упорядочивания) равна 16, которая находятся по накопленным частотам и равна 20.
XME = Σfi / 2
ХМЕ = 32:2 = 16
ME = XME+d ∙ {[(Σfi : 2) – SME-1] / fME}
МЕ = 24+2∙{[(32:2)-10]/10} = 24,6 лет
ХМЕ – нижняя граница медианного ряда (24-26) = 24;
d – величина интервала = 2;
SME-1 – частота, накопленная до медианного ряда =10 (см. интервал 22-24);
fМЕ – частота медианного ряда (количество рабочих в интервальном ряду 24-26) = 10

5. Определяем показатели вариации:
- среднее квадратическое отклонение - простое (колеблемость)
σ = √ [∑(Xi – Х )2] / n
σ = √ 363,52/32 = 3,37 года
- коэффициент вариации
Vσ = (σ / Х)∙100%
Vσ = (3,37/25,6)∙100% = 13,2%

Вывод: Вариация возраста у рабочих предприятия умеренная, что подтверждает однородную совокупность.

ЗАДАЧА 3.
Сравнить вариацию урожайности зерновых культур и картофеля в хозяйствах региона на основании следующих исходных данных:
Таблица 1 – Исходные данные

Номер хозяйства Урожайность, ц/га Посевная площадь,га
Зерновые (Y) Картофель (Х) Зерновые (Y) Картофель (Х)
1 2 3 4 5
1 15 170 20 10
2 20 90 30 20
3 13 130 10 50
4 17 150 90 40
5 25 120 50 30
6 14 30 20 25
7 16 60 32 20
8 27 160 48 45
9 33 140 25 70
10 30 100 30 35
Итого - - 355 345

РЕШЕНИЕ
1. Определяем средние величины урожайности по формуле средняя арифметическая взвешенная
Харифм.взв. = ∑Хi ∙ fi /∑ fi
- по зерновым культурам:
Ῡ =[(15∙20)+(20∙30)+(13∙10)+(17∙90)+(25∙50)+(14∙20)+(16∙32)+(27∙42)+(33∙25)+(30∙30)]/355=
= ((300+600+130+1530+1250+280+512+1296+225+900)/355 = 7623/355=21 ц/га

- по картофелю:
Х=[(170∙10)+(90∙20)+(130∙50)+(150∙40)+(120∙30)+(80∙25)+(60∙20)+(160∙45)+(140∙70)+
+(100∙35)]/345 = (1700+1200+6500+6000+3600+2000+1200+7200+9800+350)/345 =
= 43300/345 = 126 ц/га

2. Для определения показателей вариации строим таблицу, в которой рассчитываем отклонения от средних урожайностей и их квадраты, взвешенные на частоты, которы-ми являются посевные и площади
Таблица 2 – Отклонения от средних урожайностей

Номер хозяйства Отклонения от средних Квадраты отклонений
Зерновые (Y) Картофель (Х) Зерновые (Y) Картофель (Х)
15-21 170-126=+44 (-6)2∙20=720 (44)2∙10=19360
1 2 3 4 5
1 -6 44 720 19360
2 -1 -36 30 25920
3 -8 4 640 800
4 -4 24 1440 23040
5 4 -6 800 1080
6 -7 -46 980 52900
7 -5 -66 800 87120
8 6 34 1728 52020
9 12 14 3600 13720
10 9 -26 2430 23660
Итого - - 13168 299620

3. Определяем размах вариации урожайности:
- по зерновым:
Ry = R = Xmax – Xmin = 33-13 = 20 ц/га
- по картофелю:
Rx = R = Xmax – Xmin = 170-60 = 110 ц/га

4. Определяем среднее линейное отклонение урожайности зерновых культур (простое, для не сгруппированных данных)
a = (ǀΣXi - Х ǀ) / n
ay = [(ǀ6∙20ǀ+ǀ1∙30ǀ+ǀ8∙10ǀ+ǀ4∙90ǀ+ǀ4∙50ǀ+ǀ7∙20ǀ+ǀ5∙32ǀ+ǀ6∙48ǀ+ǀ12∙25ǀ+ǀ9∙30ǀ)-21]/355 =
= [(120+30+80+360+200+140+160+288+180+270)-21] /355 = (1828-21)/355 =1807/355=5,1ц/га

5. Определяем среднее линейное отклонение урожайности картофеля (простое, для не сгруппированных данных)
ax = [(ǀ44∙10ǀ+ǀ36∙20ǀ+ǀ4∙50ǀ+ǀ24∙40ǀ+ǀ6∙30ǀ+ǀ46∙25ǀ+ǀ66∙20ǀ+ǀ34∙45ǀ+ǀ14∙70ǀ+ǀ26∙35ǀ+)-126]/345=
= [(440+720+200+960+180+1150+1320+1530+980+910)-126]/345=(8390-126)/345 = 23,9ц/га

6. Определяем среднее квадратическое отклонение (простое) урожайности зерновых культур:
σ = √ [∑(Xi – Х )2] / n
σ = √13168/355 = ±6,09 ц/га

7. Определяем среднее квадратическое отклонение урожайности картофеля
σ = √ 299620/345 = ±29,5 ц/га
Рассчитанные абсолютные показатели не могут быть использованы для сравнения вариации признаков, которые имеют хотя и одинаковые единицы измерения, но резко отличающие по величине среднего уровня.

8. Определяем относительные показатели вариации урожайности:
8.1. Коэффициент осцилляции по формуле:
VR = (R / Х )∙100%
- зерновые культуры
VRy = [(33-13)/21]∙100% = (20:21)∙100% = 95%
- картофель VRx = [(170-60)/126)]∙100% = (110:126)∙100% = 87%
8.2. Относительное отклонение по формуле:
Vа = (а / Х )∙100%
- зерновые культуры
Vay = (5,1/21)∙100% = 24,3%
- картофель
Vax = (24./126)∙100% = 19,3%
8.3. Коэффициент вариации
Vσ = (σ / Х )∙100%
- зерновые культуры
Vσy = (6,09/21)∙100% = 29,0%
- картофель
Vσx = (29,5/126)∙100% = 23,4%
Относительные показатели вариации показывают, что вариация урожайности зерновых культур значительно превышает урожайность картофеля.
Если вариацию (вариант) картофеля можно отнести к умеренной, то вариация зерновых культур является сильной. Обе совокупности однородны, так как коэффициент вариации не превышает 33%.

Коэффициент вариации используется не только для сравнения вариации различных признаков, но и характеризует однородность изучаемой совокупности